W moim przypadku adres sklepu zawiera oznaczenie znak kraju np. /pl/, stąd moduł nie dział (AJAX zwracał błąd 404).
Lamersko dodałem "../" w URL w pliku save.js i działa.
Dodatkowo, aby domyślna opcja (u mnie paragon) zawsze była zapisywana w tabeli bez konieczności zmuszania do kliknięcia, przeniosłem kod do funkcji i odpalam ją za każdym razem, gdy strona się ładuje.
Ostatecznie mam taki kod i działa:
"save.js":
$(document).ready(function(){
savePF();
$('#pfform input').click(function(){
savePF();
})
});
function savePF() {
var value = $('#pfform input:checked').val();
var id_cart = $('#pfform #pf_id').val();
$.ajax({
type: "POST",
url: "../modules/paragonfaktura/save.php",
data: { value: value, id_cart: id_cart }
}).done(function( msg ) {
});
}